"Risonanze rotazione-rivoluzione" introduzione ...

Il caso più eclatante, che tutti noi conosciamo, è quello della Luna che ci mostra sempre la stessa faccia. Detto in termini astronomici ciò significa che il suo periodo di rivoluzione (27,3 giorni) è uguale al suo periodo di rotazione (27,3 giorni). Il giorno lunare, quindi, dura quasi un mese. Questa uguaglianza si esprime in modo sintetico dicendo che la Luna è in risonanza rotazione-orbita 1:1 attorno alla Terra. 

Un altro caso molto famoso tra gli appassionati è quello di Mercurio che compie tre rotazioni in due rivoluzioni. Detto in termini astronomici ciò significa che il suo periodo di rivoluzione (87,969 giorni) è pari a 3/2 del suo periodo di rotazione (58,6462 giorni). Per effetto combinato della rotazione intrinseca costante e di quella variabile periodicamente imposta dall'orbita, il giorno mercuriano (giorno sinodico) dura 115,88 giorni. 
Questo rapporto fisso si esprime in modo sintetico dicendo che Mercurio è in risonanza rotazione-orbita 3:2 attorno al Sole. 

Questa risonanza appare contro-intuitiva, tanto è vero che, all'inizio del secolo XIX, Bessel (1813) aveva dedotto da disegni della superficie una rotazione di 24h 0m 53s. Questa convinzione fu discreditata in modo definitivo da Schiaparelli (1889) che, sulla base di una serie di osservazioni, convinse la comunità scientifica che la rotazione avveniva in 88 giorni. Fu questo un grosso passo avanti nel pensare ad una rotazione molto lenta ... 

Addirittura Dollfus (1953), comparando i disegni di Schiaparelli con i suoi, aveva concluso per una risonanza 1:1, quindi 88 giorni, « con una precisione migliore di una parte su diecimila ». 

Solo osservazioni radar recenti di Pettengill e Dyce (1965) hanno condotto ad una rotazione diretta di 59±5 giorni. 
 

Mercurio 
È il pianeta più piccolo, più veloce e più vicino al Sole (ne dista 58 milioni di km). Gli gira attorno in 88 giorni, mostrandogli sempre la stessa faccia. Impiega 88 giorni a completare un giro su sé stesso. Per questo, la parte sempre rivolta verso il Sole è un deserto di rocce incandescenti, con una temperatura di 400 gradi sopra lo zero. Mercurio non ha atmosfera né vita. Diametro: km 4800. gira intorno al Sole alla velocità di 48 km/s. 

Venere 
Dopo Mercurio, è il pianeta più vicino al Sole (108 milioni di chilometri). Gli gira attorno in 225 giorni, compiendo un giro su sé stesso in 30 giorni circa. È completamente avvolto da immense nubi di polvere. È di pochissimo più piccolo della Terra: il suo diametro misura km 12300, mentre quello della Terra 12756. Gira intorno al Sole alla velocità di km 35 al secondo. Non ha né atmosfera né vita. 

Plutone 
È il pianeta più lontano dal Sole; gli gira intorno a 5919 milioni di chilometri di distanza, impiegando 248 anni per compiere ogni giro. Non si sa bene come sia composto; probabilmente, per la temperatura bassissima (230 gradi sotto zero) tutti i gas dovrebbero essere liquefatti o addirittura solidificati. Non si sono visti finora suoi satelliti. Diametro km 6000 circa. Gira attorno al Sole alla velocità di km 4,7 al secondo. 

z 

Egli annota che tale periodo avrebbe potuto essere esattamente 2/3 del periodo orbitale è dimostrò che un tale moto rotazionale avrebbe potuto essere stabile sotto l'influenza di coppie torcenti da parte del Sole, a patto che ci fosse una sufficientemente ampia differenza tra i due principali momenti di inerzia che giacevano nel piano equatoriale di Mercurio ( i.e. in termini tecnici, a patto che l'elissoide di inerzia di Mercurio deviasse in modo sufficiente dalla simmetria rotazionale). 

Prima di ciò, nel presentare la loro personale spiegazione mareale della rotazione di Mercurio, Peale e Gold (1965) avevano esplicitamente escluso che una deviazione permanente dalla simmetria assiale avrebbe potuto condurre ad un periodo rotazionale diverso da quello di 88 giorni....   

... nell'esaminare la nostra analisi preliminare del modello della interazione di Mercurio con il Sole, evidenzieremo possibili percorsi evolutivi che Mercurio avrebbe poturo seguire e discuteremo su come distinguere tra essi in base a successivi studi della dinamica del suo moto di rotazione (vedi anche Colombo e Shapiro 1965) ... ». 

Dalle osservazioni radar, alla risonanza ... questo è il grande passo che compie Bepi Colombo ... egli, con la sua analisi, riuscirà a convincere la  NASA a strutturare la missinone Mariner 10 in modo tale da usufruire di questo fenomeno per osservare per ben tre volte la superficie del pianeta nelle stesse condizioni di illuminazione e posizione nello spazio ... 

L'accuratezza di queste riprese avrebbe consentito di mettere un punto fermo sulla stabilità di tale rotazione e sulla presenza di eventuali azioni perturbanti ... L'ipotesi di lavoro per la dissimetria è molto semplice e concettualmente risale al pensiero newtoniano del "pianeta oblato" Terra ... 

Anzitutto, considereremo che il vettore velocità angolare di Mercurio sia perpendicolare al suo piano orbitale, in modo da ridurci ad un problema a due dimensioni.  

Assumiamo che la coppia totale esercitata su Mercurio dal Sole sia composta da due parti:  

• • una coppia mareale ( il bulbo mareale si ha in quanto il pianeta è deformabile )
• • una coppia di quadrupolo ( presente se la distribuzione di massa sul piano equatoriale non è simmetrica )

Consideriamo dapprima il termine mareale. La teoria di un oscillatore lineare, debolmente smorzato, mostra che la risposta è in ritardo di fase rispetto alla funzione forzante per un ammontare proporzionale al coefficiente di smorzamento. Nel nostro caso, l’analogo del coefficiente smorzante potrebbe dipendere dalla intensità e dalla frequenza della funzione forzante come pure dalle proprietà strutturali e di composizione del pianeta ... ».  
 
 
 
 

e la frequenza di rotazione sono perturbate, allora la coppia risultante tenda ad opporsi a queste perturbazioni ...  è molto piccolo ...      

... se il pianeta fosse indeformabile, allora 

  z         z 
 

   z         z 
questa è una funzione regolare ( una volta fissata la eccentricità e ) che da un valore massimo costante passa con regolarità ad un valore minimo ... essa deve bilanciarsi con la coppia di quadrupolo ( quella dovuta alla asimmetria di minimo momento d'inerzia ) ... 

L'andamento di queste "coppie" è continuo, anche se non uniformemente derivabile

e  sono molto piccoli ... se la distribuzione di massa fosse uniforme, 

 z                                     z    dove  

il primo fattore si annulla per ₀ = 0° o per ₀ = 180° diventa infinitesimo quando ₀ ---> 0° o ₀ ---> 180°; pertanto può controbilanciare i punti di singolarità all'infinito del secondo fattore in parentesi graffe ... quest'ultimo mostra dei poli per  intero o semi-intero, cioè per esempio:  = n,  
= n/2,  = (3/2)•n,  = 2•n ... 

il gioco dei coefficienti, di cui la maggior parte dipende da e o sue potenze, è tale per cui a bassi valori di e prevale la risonanza  = n, mentre per valori alti di e prevale la risonanza  = (3/2)•n ... ecco il motivo della risonanza rotazione-orbita di Mercurio ... 

il caso di eccentricità bassa corrisponde alla situazione Terra-Luna, mentre il caso di eccentricità alta corrisponde alla situazione Mercurio-Sole.... 
z 
₀ assume alla risonanza uno scostamento infinitesimo rispetto a 0° o 180°, in concreto un angolo nullo o piatto ... ₀ è l’orientazione dell’asse equatoriale di minimo momento d’inerzia rispetto alla linea degli apsidi al perielio ... 

La coppia di quadrupolo nel punto 1:1, pur avendo ampiezza simile a quella in 3:2, non bilancia mai la coppia mareale  Il grafico della coppia di quadrupolo non è in scala - deve avere ampiezza tale da bilanciare la coppia mareale alla risonanza

L'asse giallo della distribuzione di massa, che qui rappresenta Mercurio, è la direzione del minimo momento d'inerzia ...  la marea di Mercurio è sempre diretta verso il Sole - l'asse giallo è sempre diretto verso il Sole al Perielio ( 0 = 0° o 180°  ) ...

La coppia di quadrupolo nel punto 3:2, di ampiezza molto minore di quella in 1:1, non bilancia mai la coppia mareale  Il grafico della coppia di quadrupolo non è in scala - deve avere ampiezza tale da bilanciare la coppia mareale alla risonanza

z 

zz