Il pensiero di Newton resiste in mezzo a contraddizioni palesi - Premessa a Einstein

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Newton (“Principia”, 1687) ha una visione di un cosmo molto intuitivo e conforme ai dettati della geometria euclidea. I corpi, infatti, sono immersi in uno spazio vuoto infinito, euclideo, tempo assoluto, che si può misurare con un sistema d’assi cartesiani. Le azioni gravitazionali sono istantanee e sono mutuate da forze. 

Per inerzia un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme. La gravitazione universale è valida tra riferimenti tra loro in moto relativo uniforme solo se consideriamo un tempo assoluto. 

Nel caso di riferimenti accelerati, entrano in gioco “forze fittizie” necessarie per far tornare i conti. 

Cassini riscontra ritardi e anticipi nel transito del satellite “Io” attraverso l’ombra di Giove, e attribuisce una possibile causa alla limitata velocità della luce. Ha dubbi e si lascia sfuggire l’occasione della scoperta, che viene portata a compimento dal suo allievo Römer. 

Römer (1678) dimostra, in modo definitivo, che la velocità della luce è finita e dal suo schema di misura se ne ricava anche una buona stima del valore numerico. 

Maxwell (1873) definisce le equazioni che uniscono loro campo magnetico e campo elettrico. Da esse emerge che la velocità di propagazione dell’onda deve essere sempre la stessa ed è relazionata in modo semplice a costanti facilmente misurabili della realtà fisica. 

             mo = permeabilità magnetica nel vuoto ----  eo = permettività elettrica del vuoto 

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Il pensiero di Maxwell resiste in mezzo a contraddizioni palesi - Premessa a Einstein

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Si suppone che il possibile riferimento per queste equazioni debba essere quello solidale con le stelle fisse, ma è subito chiaro che si tratta di un ripiego e che, in realtà, Maxwell non ammette la trasformazione galileiana. 

La sua velocità della luce è invariante rispetto al sistema di riferimento, perché dipende solo da grandezze fisiche assolute. 

Il suo pensiero è “troppo giusto” per poter minimamente pensare ad errori nella sua teoria. 

Tuttavia a lungo rimane questo problema d’incompatibilità con gli schemi del passato. 

Ogni spazio ha una sua “metrica”, cioè un metodo per definire la distanza elementare tra due punti vicini a piacere. 

Questa è la metrica euclidea di Galilei: 
 

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La prima sintesi Einsteniana – lo “spazio-tempo” della Relatività Speciale

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Questo è il panorama conoscitivo in cui Einstein (1905) riuscirà a proporre una prima sintesi. 

È già evidente da Maxwell che la velocità della luce potrebbe essere un invariante. 

Si tratta di costruire una nuova visione della realtà che spieghi Maxwell e ammetta come caso limite Newton. 

Einstein procede per mezzo di “esperimenti mentali”. 

Vediamone uno, quello del razzo in quiete e in moto rettilineo uniforme: 

Supponiamo un razzo che contenga due sorgenti A e B e un osservatore O esattamente equidistante da esse. 

Sappiamo che O riceve un’informazione luminosa da A e da B nello stesso istante. 

Ipotizziamo che la velocità della luce sia invariante rispetto al sistema di riferimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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Osserviamo il razzo in quiete in un sistema di riferimento solidale con esso. 

La domanda che ci si pone è:  l’accensione di A e quella di B sono contemporanee? Sì, sono contemporanee. 
 
Poniamoci la domanda di cosa succede se osserviamo il razzo in moto da terra ... 
 
 
 
 
 

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O deve vedere la stessa realtà, cioè riceve contemporaneamente la luce da A e da B. Allora, muovendosi la luce sempre con velocità“c”, diventa evidente che nel nuovo sistema di riferimento i due eventi non sono più contemporanei. A deve partire prima e B dopo. 
 
 
 
 

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 La prima sintesi Einsteniana – lo “spazio-tempo” della Relatività Speciale

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Quello che si evince è che, spostandoci su un altro sistema di riferimento inerziale, cambia la percezione del tempo.  

In una trasformazione inerziale generica di coordinate si passa da x, y, z, a nuove coordinate x’, y’, z’. Abbiamo ora osservato che anche la nozione di tempo cambia. Nulla di più semplice che considerare il tempo non più assoluto, ma come una coordinata che varia cambiando il riferimento. Ecco dunque il concetto di spazio-tempo quadridimensionale x, y, z, t.  

Si tratta ora di trovare una regola di trasformazione che renda conto della realtà. Sarà la trasformazione di Lorentz con la sua corrispondente “metrica”:  
 

            metrica di Galilei e metrica di Lorentz 

La velocità “c” della luce nel vuoto è un invariante e coincide con quella delle equazioni di Maxwell.  

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Relatività Speciale - i “diagrammi spazio – tempo”

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Sono un utile aiuto per visualizzare due dimensioni dello spazio-tempo, quella temporale “ct” e quella spaziale, per esempio l’asse “x”. 
Un punto P di questo piano è denominato “evento” e sarà determinato da quattro coordinate in un arbitrario sistema di riferimento inerziale: 
 

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Relatività Speciale - i “diagrammi spazio – tempo” 

La pendenza di una retta in questo diagramma vale:                   m = ct / x = c • ( t / x) = c / Vx 

se Vx = c allora m = 1, pertanto un fotone che viaggia a velocità “c” lascerà una traccia che è una retta a 45° gradi nel diagramma spazio-tempo. 

Una particella ferma sarà descritta da una retta verticale ( la x non cambia, il tempo sì ). 

« Nessuno si sognerebbe mai di confondere le distanze su una carta di Mercatore con le distanze fisiche sulla Terra. Una mappa di Mercatore è una proiezione della geometria del globo su un foglio di carta, che ha una geometria differente … Similmente, un diagramma spazio-tempo è la proiezione di una sezione bidimensionale di uno spazio-tempo con una geometria 

zzz         ( qui ds è chiaramente più piccolo di dx )

su un foglio di carta con una geometria                pertanto non vanno confuse le distanze sul foglio del diagramma spazio-tempo con le reali distanze nello spazio-tempo! ». (1) 

(1) James B. Hartle - “Gravity - An introduction to Einsten's General Relativity” - Addison Wesley 
 
 
 
 

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Relatività Speciale - i “diagrammi spazio – tempo” 

Vediamo con una figura queste asserzioni non esattamente intuitive, i conti sono fatti con le regole della trasformazione di Lorentz: 

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Relatività Speciale - la “trasformazione di coordinate” 

Vediamo il caso di un sistema di riferimento con velocità uniforme rispetto a quello fondamentale. Si scopre che nel caso di moto uniforme lungo il solo asse x, la trasformazione porta ad un diagramma con la stessa origine, ma con assi ruotati 

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Relatività Speciale - la “contrazione dei regoli” 

Valutiamo la lunghezza Lx nel sistema di riferimento fondamentale (regolo immobile) e la corrispondente lunghezza L nel riferimento in moto uniforme rispetto a “x” L. Ci accorgiamo subito che sono diverse e che L può essere calcolata a partire da Lx e dalla coordinata c • Dt applicando le regole della trasformazione di Lorentz ( quindi non il teorema di Pitagora ) 
 

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Relatività Speciale - Newton è inconsistente con essa 

« Con il successo della Relatività Speciale, divenne evidente che la gravitazione universale di Newton, che era stata applicata con successo alla meccanica del Sistema Solare per almeno 300 anni, non poteva ulteriormente essere considerata esatta. 

L’interazione gravitazionale Newtoniana è istantanea. 

La forza su una massa m1 dovuta ad una seconda massa m2 è data in intensità dalla formula: 
 

dove r1(t) e r2(t) sono le posizioni delle masse allo stesso istante di tempo. Ma nella Relatività Speciale la nozione di simultaneità è differente in differenti riferimenti inerziali. La legge di Newton potrebbe essere valida in un solo riferimento, e bisognerebbe distinguerlo da tutti gli altri. 

La legge di gravitazione Newtoniana è pertanto inconsistente con il principio di relatività ». (2) 

(2) James B. Hartle - “Gravity - An introduction to Einsten's General Relativity” - Addison Wesley 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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Relatività Generale - Massa Gravitazionale e massa Inerziale coincidono 

Tutta la Relatività Generale (RG) si fonda su questa eguaglianza. 

La massa Inerziale è quella che tende ad opporsi alla azione di una forza: 
 

La massa Gravitazionale è quella che compare nella legge di attrazione tra masse: 
 

Gli scienziati hanno profuso molte energie nella misurazione di questa eguaglianza con vari metodi. Quello che possiamo dire è che essa è verificata nell’ambito della precisione degli strumenti. È pertanto una realtà ben assodata. 
 
 
 
 
 
 
 
 

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Relatività Generale - Il principio di Equivalenza -  ( cortesia di Franco Malerba ) 

La eguaglianza tra massa Gravitazionale e massa Inerziale fa sperimentare in orbita una situazione di “assenza di gravità”. Nella navicella, effettivamente i corpi permangono in stato di quiete e, se spinti leggermente, procedono di moto rettilineo uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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Relatività Generale - Definizione del principio di Equivalenza 

In realtà il campo gravitazionale della Terra non è uniforme, ma ha simmetria radiale sferica e tende a diminuire allontanandosi dal centro del pianeta. 

Non è vero, pertanto, in senso stretto che in tutti i punti della navicella la gravità si annulli. 

Ma per spazi “piccoli” rispetto alla variazione del campo l’uguaglianza è sufficientemente valida. 

Pertanto la sua definizione, in “modo pratico” suona così: 

« Esperimenti in un laboratorio sufficientemente piccolo in caduta libera, su un periodo di tempo sufficientemente breve, danno risultati che sono indistinguibili da quelli degli stessi esperimenti in un sistema di riferimento inerziale in uno spazio vuoto » (3) 

(3) James B. Hartle - “Gravity - An introduction to Einsten's General Relativity” - Addison Wesley 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Relatività Generale - Orologi in un campo gravitazionale 

Supponiamo di avere due osservatori con orologi identici, immersi nel campo gravitazionale terrestre. L’orologio A ripete il segnale con cadenza DtA e si trova ad una altezza h. L’orologio B è posizionato a terra e avrà, in generale, una cadenza DtB. Vale la formula seguente: 
 

Relatività Generale - GPS – Global Positioning System 

Le cadenze dei segnali provenienti dai satelliti del sistema GPS devono essere corrette, rispetto agli orologi a terra, perché i satelliti procedono a velocità elevata e perché si trovano ad un potenziale gravitazionale diverso rispetto a quello del comune utente. 

Il fattore di correzione per compensare la dilatazione dei tempi dovuta alla velocità dei satelliti vale: 
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Il fattore di correzione per compensare l’effetto del diverso potenziale gravitazionale vale: 
z                    z 
La correzione dovuta al potenziale gravitazionale, pertanto, è più distante dall’unità di quella della dilatazione dei tempi.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Relatività Generale - Lo Spazio-Tempo è curvo 

« Per chiarire meglio questo concetto consideriamo un sistema di riferimento inerziale K ed un sistema di riferimento K' non inerziale in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo anche una circonferenza solidale con K. Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è pi-greco “π”. Rispetto a K' che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni piccolo segmento della circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità “v” [radiale].  

In un certo istante ogni piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto contrarsi rispetto a K' secondo la legge della contrazione di Lorentz per cui il rapporto fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da pi-greco “π” (il diametro non subisce la contrazione di Lorentz perché non si muove rispetto a K' nel senso della sua lunghezza). 
z                                             z 
... [così] si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea. Poiché un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento accelerato, lo spazio-tempo viene incurvato da un campo gravitazionale ». - E-school - Arrigo Amadori – “Relatività generale (RG) (sintesi introduttiva)” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Relatività Generale - Metrica 

La Metrica della Relatività Generale (RG) è una generalizzazione di quella della Relatività Ristretta ... 

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Si intende qui che ciò che sta a pedice vada sommato in ogni possibile combinazione …  α può essere la coordinata temporale o la x o la y o la z e così pure vale per β …  pertanto la presente somma avrà 16 addendi, dovendo contemplare tutte le combinazioni a due a due. 

In  è contenuta l’informazione della quantità di massa e della sua distribuzione, che come abbiamo visto in precedenza, causa la deformazione dello spazio-tempo determinandone la struttura. 

È chiaro che la metrica, dipendendo dalla struttura dello spazio-tempo in oggetto, dipende da . 
 

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