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Philosophiae Naturalis PRINCIPIA Mathematica - 1687
La grande impresa di Newton è stata quella di far confluire le conquiste intellettuali di Galileo e Keplero in una fisica moderna ben strutturata.  

L’opera di Newton parte con una serie di definizioni di grandezze fisiche e con l’enunciazione delle tre leggi del moto. Le fonti necessarie per comprendere l’opera sono
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“Gli elementi” di Euclide 
“Le coniche” di Apollonio 
“Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica et i movimenti locali” di Galilei, Del moto equabile, proposizioni 1-2-4; Del moto naturalmente accelerato, proposizioni 1-2; Del moto dei proietti, proposizione 1
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Keplero compare in modo indiretto: utilizzando le definizioni e le tre leggi della dinamica, le sue leggi sono dimostrate, non impiegate quindi come ipotesi di partenza. 

Newton ha una visione cosmologica della meccanica; Galileo ne ha una visione semplicemente terrestre. Un proiettile che cade segue in realtà un’orbita ellittica, e se avesse sufficiente velocità si porrebbe in orbita attorno alla Terra. Trascriviamo le parole autografe di Newton, prese dai “Principia” - Libro I - Scholium: «… Se il centro d’attrazione si sposta all’infinito, l’ellisse si trasforma in una parabola, il corpo si muoverà su una parabola …» 
 
1a legge Principio d’inerzia ("vis insita") - Ogni corpo continua nel suo stato di quiete o di moto uniforme in linea retta, a meno che non sia soggetto a forze che alterano il suo stato - [ipotesi ragionevole che Newton dice di derivare da Galilei]. 
I contemporanei del "lucasian professor" affermano che il concetto compiuto d’inerzia appartiene a Cartesio. Il nostro non lo accetta perché la sua meccanica meccanicistica e metafisica non può essere condivisa da un fautore del metodo scientifico. 
È vero altresì che lo spazio di Cartesio, con i famosi assi da cui si dipartono semirette che vanno all’infinito, può consentire il moto rettilineo uniforme (difficile però è renderlo compatibile con l’ipotesi dei vortici onnipresenti). 
Galilei afferma che un corpo permane nel suo stato di moto imperturbato su una superficie sferica attorno alla Terra: 
« ... e però, rimossi tutti gl'impedimenti esterni, un grave nella superficie sferica e concentrica alla Terra sarà indifferente alla quiete ed a i movimenti verso qualunque parte dell'orizonte, ed in quello stato si conserverà nel qual una volta sarà stato posto; cioè se sarà messo in stato di quiete, quello conserverà, e se sarà posto in movimento, verbigrazia verso occidente, nell'istesso si manterrà: e così una nave, per essempio, avendo una sol volta ricevuto qualche impeto per il mar tranquillo, si moverebbe continuamente intorno al nostro globo senza cessar mai, e postavi con quiete, perpetuamente quieterebbe, se nel primo caso si potessero rimuovere tutti gl'impedimenti estrinseci, e nel secondo qualche causa motrice esterna non gli sopraggiugnesse ... » (*)
Inoltre lo spazio di Galilei è limitato e non può, filosoficamente parlando, accettare traiettorie rettilinee infinite: 
« ... De i luoghi dove collocar la stella nuova [la nova di Tycho del 1572], alcuni son manifestamente impossibili, ed altri possibili. Impossibile assolutamente è che ella fusse per infinito intervallo superiore alle stelle fisse, perché un tal sito non è al mondo, e quando fusse, la stella posta là a noi sarebbe stata invisibile ... » (**)
La verità è che ciascuno dei due ha dato un grosso contributo al concetto d’inerzia, Galileo in modo quasi esaustivo, salvo contraddizioni finali, ma solo Newton lo esprime in modo totalmente corretto.
2a legge Accelerazione proporzionale alla Forza, nella direzione della forza stessa - una novità assoluta - [ipotesi ragionevole]
3a legge Principio d’azione e reazione, - Ad una azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria; oppure: le mutue azioni di due corpi sono sempre uguali e dirette in versi contrari - una novità assoluta - [ipotesi ragionevole]
Queste tre leggi (ipotesi ragionevoli di lavoro trovate mediante osservazione dei fenomeni, induzione e deduzione) assieme alle definizioni, sono tutto ciò che è necessario a Newton per dimostrare la validità della gravitazione universale. Alcuni dati osservativi (Fenomeni) danno conferma della bontà del suo pensiero.  

Newton è stato anche fondatore, in modo indipendente da Leibnitz, della analisi infinitesimale. Avrebbe potuto in poche pagine rappresentare in modo compiuto la sua gravitazione universale, invece decide di raccontarla con “metodo geometrico”, probabilmente perché avrebbe così raggiunto una diffusione più ampia, visto la cultura matematica dei suoi contemporanei.  

Come fa Newton a mescolare Forze e Geometria per arrivare al risultato? 

Egli ha molto chiaro in mente che velocità e forza sono vettori, cioè hanno una intensità, una direzione e un verso, pertanto rappresentabili con segmenti orientati [Newton userà semplici segmenti sottintendendo l'orientamento]. Inoltre intuisce come i vettori si compongono, e pertanto ricava da una ipotetica variazione di velocità [necessita dunque considerare due punti distinti P e Q] su una traiettoria curva, la direzione della accelerazione, e quindi, per la seconda legge, anche della forza.  
Utilizzando Euclide e Apollonio egli riesce a ricavare una relazione tra la forza e il raggio vettore che va dal fuoco ai punti. Effettua un passaggio al limite, portando a coincidere tra loro i due punti, e ciò che rimane è la proporzionalità inversa della forza col quadrato del raggio vettore.  

Ma vediamo, con le parole autografe di Newton, come si configura il problema:
.«… la forza centripeta è inversamente proporzionale al solido
.
.nella ipotesi di passaggio al limite per Q che tende a P.…» .[Problema 6, Teorema 5] 

.«... se un corpo orbita in una ellisse, trovare la legge della forza .centripeta che punta al fuoco [“umbilicum”] della ellisse ...» .[Proposizione 11] 

.Sia S il fuoco della ellisse e P il punto orbitante su di essa, SP è, .quindi, il raggio vettore. Newton esprime la sua scoperta alla .Sezione 3, Proposizione 11, con queste parole:
.«... e si ponga l'identità:
.
.Pertanto [per Problema 6, Teorema 5] la forza centripeta è .inversamente proporzionale a:
.
.cioè inversamente al quadrato della distanza SP.  C.V.D ...» .[Proposizione 11]  (*) ... L è una costante ...
 
 
ecco dunque, con parole moderne [e.g. massa = quantità di sostanza] la formulazione della conclusione:
Tesi  o  4a legge Gravitazione universale: la forza è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e, inversamente, al quadrato della distanza. La legge contiene un fattore invariabile "costante universale", misurata per la prima volta da Cavendish con la bilancia di torsione.
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(*)
L è il “latus rectum” della ellisse:
 
dove BC è il semiasse minore e AC è il semiasse maggiore. Data l’ellisse, dunque, L è una costante.
  (*) Galilei, Galileo, «Seconda lettera del sig. Galileo Galilei al sig. Marco Velseri delle macchie solari». tratto da Liber Liber. 
(**) Galilei, Galileo, «Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo». tratto da Liber Liber. 

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